Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Тема: Математические основы финансового менеджмента

Вопросы:

Способы начисления процентов

Сущность простых и сложных процентов

Методы оценки аннуитетов

Ответы:

1.Способы начисления процентов

Процента – это доход от предоставления капитала в долг в различных формах либо от инвестиций производственного или финансового характера.

Наращение первоначальной суммы долга – это увеличение суммы долга за счёт присоединения начисленных процентов (дохода).

Коэффициент наращения – это величина, показывающая во сколько раз вырос первоначальный капитал.

Период начисления – это промежуток времени, за который начисляются проценты.

Существует 2 способа определения и начисления процентов:

Дискурсивный способ начисления процентов – проценты начисляются в конце каждого интервала, хи величина определяется исходя из величины предоставляемого капитала, дискурсивная процентная ставка представляет собой выраженное в процентах отношение суммы начисленного, за определённый интервал, дохода к сумме, имеющейся на начало данного интервала.

Антисипотивный способ начисления процентов – проценты начисляются в начале каждого интервала, сумма процентных денег определяется исходя из наращенной сумме. Процентной ставкой будет, выраженное в процентах отношение суммы дохода, выплачиваемого за определённый период к величине наращённое суммы, полученной по прошествии этого интервала.

В мировой практике дискурсивный способ наращения процентов получил наибольшее распространение, а антисипотивный способ наращения процентов рассматривается как банковское дисконтирования или банковский учёт векселей, и обычно применяется в периоды высоких темпов инфляции.

2.Сущность простых и сложных процентов

Известны 2 основные схемы дискретного начисления процентов:

Схема простых процентов предполагает неизменность базы с которой происходит исчисление. Процесс дисконтирования по схеме простых процентов определяется по формуле:

Схема сложных процентов предполагает изменность за счёт капитализации процентов начисленных но не выплаченных к основной сумме. Наращение сложных процентов:

Мультиплицирующий множитель в процессе наращения для определения бедующей стоимости, его значения табулированы.

Процесс в котором заданы исходная сумма и ставка называется процессом наращения, искомая величина – наращенной суммой, а используемая в операции ставка – ставкой наращения.

Процесс в котором заданы ожидаемая в будущем к получению сумма и ставка называется процессом дисконтирования , искомая величина – приведённой суммой , а используемая в операции ставка – ставкой дисконтирования.

Процесс дисконтирования по простым процента осуществляется по формуле:

Процесс дисконтирования по схеме сложных процентов осуществляется по формуле:

Дисконтирующий множитель ля определения настоящей суммы, его значения табулированы.

4.Методы оценки аннуитетов

Поток однонаправленных платежей с равными интервалами между последовательными платежами в течении определённого количества лет называется аннуитетом (финансовой рентой).

Примеры аннуитетов: пенсионный фонд, погашение заёмщиком кредита.

Оценка денежного потока может выполняться в рамках решения задач:

Прямой – т.е. производится оценка с позиции будущего и реализуется схема наращения (Схема наращения аннуитета постнумерандо.

А-сумма аннуитета

FM3(i;n) – мультиплицирующий множитель для аннуитета в процессе наращения, значения так же табулированы

Схема наращения для аннуитета пренумеранда реализуется по формуле

FV=A*FM3(i;n)*(1+i)

Обратной, т.е. проводится оценка с позиции настоящего, реализуется схема дисконтирования.

Процесс дисконтирования для аннуитета постнумеранда осуществляется по формуле

A*FM4(i;n) –дисконтирующий множитель для аннуитета, его значения так же табулированы.

Процент дисконтирования для пренумерендо: =A*FM4(i;n)*(1+i)

Сегодня недостаточно произвести расчет простого процента или сложного, ни один банк не использует их в чистом виде. Банки выгоднее использовать не только разные виды процентного расчета, но и разные концепции расчета, которые в свою очередь сильно зависят от условий контрактов. Рассмотрим основной способ (концепцию) начисления процентных ставок, это способ декурсивного начисления процентов.

На сегодняшний день это самый распространенный способ начисления процентов, который используется в мировой практике. Основа данной концепции - “от настоящего к будущему”, где при окончании указанного интервала времени начисляется процент или выплачивается начисленный процент на базовый депозит. К декурсивному начислению процентов применяют как простой расчет процента, так и ставку наращения, другими словами используют сложный процентный расчет. Ниже, графическое отображение дохода на депозит в зависимости от выбранного метода процентного начисления и его срока.

В случае с небольшими процентными ставками, декурсивный метод наиболее выгоден заемщику, чем кредитору. И данный метод лучше применять при краткосрочных финансовых операциях. Причем вкладывать желательно на срок не более года, с выплатой процентных начислений в конце каждого интервала времени. В идеале декурсивный метод используется, когда совпадает с интервалом начисления процентов. Однако это не значит, что декурсивное начисление процентов нельзя использовать в любых других случаях. Все зависит от договоренности сторон, которые участвуют в финансовой операции.

Будьте в курсе всех важных событий United Traders - подписывайтесь на наш

При антисипативном способе начисления процентов сумма получаемого дохода рассчитывается исходя из суммы, получаемой по прошествии интервала начисления, т.е. из наращенной суммы. Так как проценты начисляются в начале каждого интервала начисления, заёмщик, естественно получает эту сумму за вычетом процентных денег. Такая операция называется дисконтированием по учётной ставке, а так же коммерческим или банковским учётом. Разница между стоимостью векселя и суммой, которую банк выдаст по этому векселю, называется дисконтом .

Введём следующие обозначения:

d - относительная величина учётной ставки;

P – сумма, получаемая заёмщиком;

S – сумма, которая должна быть возвращена;

n - продолжительность периода начисления в годах;

q – продолжительность периода начисления в днях;

К – продолжительность года в днях.

Простые учётные ставки.

Используются формулы:

Преобразуя последнее выражение получаем формулы для определения других показателей:

Сложные учетные ставки.

d c – относительная величина сложной учетной ставки;

–коэффициент наращения для случая учетной ставки;

По прошествии n лет наращенная сумма составит
,

а множитель наращения имеет вид

Пример 8. Первоначальная сумма долга равняется 25 тыс.руб. Определить величину наращенной суммы через три года при применении декурсивного и антисипативного способов начисления процентов. Годовая ставка – 25%.

Решение

При применении декурсивного способа начисления процентов по формуле
получаем: тыс.руб.При применении антисипативного способа начисления процентов по формуле
получаем:
тыс.руб. Данный пример наглядно демонстрирует ощутимость различия в результатах при разных способах начисления процентов. Разница составляет больше 10 тыс. руб.

Банковское дисконтирование связано с предоставлением коммерческого кредита, объектом которого является товар, а кредитным документом служит товарный вексель. В этом случае используется простая или сложная учетная ставка , представляющая собой плату, взимаемую банком за авансирование денежных средств при покупке (учете) ими векселей до наступления срока их погашения. Учетная ставка является по своей сути разницей (дисконтом) между номиналом векселя и ценой, по которой он был куплен (учтен) банком.

Расчет стоимости векселя методом банковского дисконтирования с использованием простой учетной ставки можно иллюстрировать следующим примером.

Пример 9. Организация реализовала свою продукцию на условиях коммерческого кредита с оформлением простого векселя, номинальной стоимостью 100 тыс.руб. и сроком на 90 дней. Учётная ставка процента за предоставленный кредит – 20% годовых. За 30 дней до истечения срока погашения векселя организация решила продать его банку. Требуется определить сумму, которую организация получит в зачет векселя:

P = S ∙ (1– d ∙ n )= 100 000 = 98,333 тыс.руб.

Тогда сумма дисконта (прибыли банка) составит:

100 – 98,333 =1,667 тыс.руб.

Расчет текущей стоимости векселя методом банковского дисконтирования по сложной учетной ставке рассмотрим на следующем примере.

Пример 10. Организация - владелец векселя номинальной стоимостью 100 тыс.руб. и периодом обращения 2 года предложила его банку сразу для учета, т.е. за 2 года до погашения. Банк согласился учесть этот вексель по сложной учетной ставке 20% годовых. Сумма, полученная организацией – владельцем векселя, составит:

P = S (1 – d) n = 100 (1 – 0,2) 2 = 100 ∙ 0,64 = 64 тыс.руб.

Дисконт банка: 100 – 64 = 36 тыс.руб.

На условиях этого же примера определим сумму, полученную организацией - владельцем векселя, если бы банк произвел учет векселя по простой учетной ставке – 20%. Тогда:

P = S ∙ (1 – d ∙ n) = 100 = 100 ∙ 0,6 = 60 тыс.руб.

Дисконт банка: 100 – 60 = 40 тыс.руб.

Банку в данном случае более выгоден учет векселя по проcтой учетной ставке.

Цена денег – это плата за временное использование «чужих» денег, она определяется в виде про­стых или сложных процентов. Проценты – это доход от предоставления капитала в долг, то есть денежная плата, взимаемая за использование денег. Если проценты имеют стоимостное выражение, их принято называть процентными деньгами. Давая деньги взаймы сегодня, владелец подвергает себя риску их не возврата, то есть не получения дохода от возможных инвестиций, снижает свою ликвидность. Поэтому он стремится возместить потери – получить доход от предоставления денег в долг. Этот доход и называется процентными деньгами.

Процентная ставка – величина, характеризующая интенсивность начисления процентов.

Период начисленияпроцентов – промежуток времени, за который начисляются проценты (срок, на который предоставляются деньги).

Интервал начисления – минимальный период, по прошествии которого происходит начисление процентов.

Существует два способа начисления процентов: декурсивный и антисипативный.

Декурсивный способ начисления процентов – наращение первоначальной суммы по процентной ставке . Проценты (правильнее – процентные деньги) выплачиваются в конце каждого интервала начисления.

Декурсивная процентная ставка (i), называемая ссудным процентом, – это выраженное в процентах отношение суммы начисленного за определенный интервал дохода I (процентных денег) к сумме, имеющейся на начало данного интервала – P .

Наращение (рост) первоначальной суммы долга – увеличение суммы долга за счет присоединения начисленных процентов.

S = P + I , (4.1)

I = S – P , (4.2)

где S – наращенная сумма.

Коэффициент наращения К н определяется следующим образом:

Процентная ставка i является относительной величиной, измеряется в долях единицы и определяется делением процентных денег на первоначальную сумму.

. (4.4)

Формула расчета процентной ставки идентична расчету статистического показателя «темп прироста».

Определение наращенной суммы S называется компаундингом . Определение первоначальной суммы Р – дисконтированием.

День получения и день окончательного погашения займа считаются одним днем (граничный день). Начисление процентов по кредитам и депозитам происходит, как правило, ежедневно. При этом может использоваться или точное количество дней в году (360/365) или банковское (30 дней).

При антисипативном способе начисления процентов (предварительном) проценты выплачиваются в начале периода, за который начисляются проценты. Пример: проценты, взимаемые банком при учете векселей; по факторинговому кредит и проч. Величиной получаемого кредита является наращенная сумма S . Исходя из нее и начисляются проценты. Заемщик получает сумму кредита за вычетом процентов.

Разница между размером кредита S и выдаваемой суммой Р называется дисконтом, обозначается через D и представляет собой сумму процентных денег.

D = S – P . (4.5)

Ставка дисконта, выраженная в долях от единицы и определяемая делением суммы дисконта на величину Р , называется учетной ставкой d .

. (4.6)

Можно заметить, что и сумма процентов I и величина дисконта D определяются одинаковым образом. Однако в первом случае речь идет о приросте текущей стоимости, своего рода «наценке», то есть определяется будущая стоимость «сегодняшних денег». Во втором случае определяется настоящая стоимость будущих денег, то есть определяется «скидка» с будущей стоимости (diskont в переводе с немецкого означает «скидка»).

Чаще всего антисипативный способ используется в чисто технических целях – при дисконтировании, а также при учете векселей в банке и при оплате факторинговых услуг. Во всех остальных случаях в мировой практике более распространен декурсивный способ начисления процентов.

Антисипативный способ применяется в странах с развитой рыночной экономикой в периоды высокой инфляции, так как наращение по антисипативному способу происходит более быстрыми темпами, чем при декурсивном способе начисления.

В хозяйственной практике РБ в настоящее время применяется в основном декурсивный способ начисления простых процентов. Проценты по счетам начисляются в соответствии с договором между банком и клиентом. По счетам учета кредитных и депозитных операций проценты начисляются за период, включающий день выдачи кредита или зачисления денег в депозит, и день, предшествующий погашению кредита или выдачи депозита (закрытия счета). При изменении процентной ставки начисление процентов по новой ставке осуществляется со дня ее установления.

Прочитав данную главу, вы будете знать:

• o декурсивный и антисипативный способы;
• o учет влияния инфляции.

Расчет стоимости предприятия (бизнеса), как и большинство экономических расчетов, основывается на вычислении процентов декурсивным или антисипативным (предварительным) способом и теории аннуитетов.

Проценты - это доход в различных формах от предоставления финансовых средств (капитала) в долг или инвестиций.

Процентная ставка - показатель, характеризующий величину дохода или интенсивность начисления процентов.

Коэффициент наращения - величина, показывающая соотношение наращенного первоначального капитала.

Период начисления - промежуток времени, по истечении которого начисляются проценты (получается доход). Период начисления может делиться на интервалы начисления.

Интервал начисления - минимальный период, по прошествии которого происходит начисление части процентов. Проценты могут начисляться в конце интервала начисления (декурсивный способ) или в начале (антисипативный или предварительный способ).

Декурсивный способ

Декурсивная процентная ставка (ссудный процент) - это отношение суммы дохода, начисленного за определенный период, к сумме, имеющейся на начало данного периода.

Когда после начисления дохода за период этот доход выплачивается, а в следующий период процентный доход начисляется на первоначальную сумму, тогда используется формулы начисления простых ставок ссудных процентов.

Если ввести обозначения:

i (%) - годовая ставка ссудного процента (income); i - относительная величина годовой ставки процентов; I - сумма процентных денег, выплачиваемых за период (год);

P - общая сумма процентных денег за весь период начисления;

Р - величина первоначальной денежной суммы (present value);

F - наращенная сумма (future value);

k n - коэффициент наращения;

п - количество периодов начисления (лет);

d - продолжительность периода начисления в днях;

К - продолжительность года в днях К = 365 (366), то декурсивная процентная ставка (i):

Отсюда (6.1)

Тогда коэффициент наращения:

Если интервал наращения меньше одного периода (года) , то

Определение величины наращенной суммы F (future value) называется компаундингом (compounding).

Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на 3 года по простой ставке 12% годовых. Определить наращенную сумму.

По формуле (6.1):

Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на 182 дня, год обыкновенный, по простой ставке процентов 12% годовых. Определить наращенную сумму.

По формуле (6.2):

Иногда возникает необходимость решить обратную задачу: определить величину первоначальной (текущей, приведенной) суммы Р (present value), зная, какой должна быть наращенная сумма F (future value):

Определение величины первоначальной (текущей, приведенной) суммы р (present value) называется дисконтированием (discounting).

Пример. Через 3 года необходимо иметь сумму 16 500 руб. Какую сумму в этом случае необходимо положить на депозит по простой ставке 12% годовых.

Преобразуя формулы 6.1-6.3, можно получить

Процентные ставки в разные периоды могут изменяться.

Если в течение различных периодов начисления п , п 2 ,..., n N , используются различные ставки процентов i 1 , i 2 ,..., i N , где N - общее количество периодов начисления, то сумма процентных денег в конце периодов начисления при ставке процентов i 1 :

где n 1 - количество периодов начисления при ставке процентов i 1 в конце периодов начисления при ставке процентов и т.д.

Тогда при JV-периодах начисления наращенная сумма (N - номер последнего периода) при любом :

где коэффициент наращения: (6.5)

Пример. Кредит в размере 250 000 руб. выдается на 2,5 года по простой ставке процентов. Процентная ставка за первый год i = 18%, а за каждое последующее полугодие она уменьшается на 1,5%. Определите коэффициент наращения и наращенную сумму.

По формуле (6.5): k n = 1 + 0,18 + 0,5 (0,165 + 0,15 + 0.135) = 1,405.

По формуле (6.4): F = 250 000 х 1,405 = 351 250 руб.

Обратная задача:

Если п к = 1, то , (6.7)

где коэффициент наращения:. (6.8)

Пример. Кредит в размере 250 000 руб. выдается на 5 лет по простой ставке процентов. Процентная ставка за первый год i

По формуле (6.8): k n = 1 + 0,18 + 0,165 + 0.15 + 0,135 + 0,12 = 1,75.

По формуле (6.7): F = 250 000 x 1,75 = 437 500 руб.

Когда после начисления дохода за период этот доход не выплачивается, а присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого периода (к сумме, создавшей этот доход), и в следующий период процентный доход начисляется на всю эту сумму, тогда используются формулы начисления сложных процентов.

Если к представленным обозначениям добавить:

i c - относительная величина годовой ставки сложных процентов;

k nc - коэффициент наращения в случае сложных процентов;

j - номинальная ставка сложных ссудных процентов, по которой вычисляется поинтервальная ставка сложных ссудных процентов, то за период начисления, равный году, наращенная сумма - составит: . За второй период (через год): и т.д.

Через п лет наращенная сумма составит:

где коэффициент наращения k nc равен:

Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на 3 года по сложной ставке 12% годовых. Определите наращенную сумму.

По формуле (6.9)

Решая обратную задачу:

где - коэффициент дисконтирования.

Коэффициент дисконтирования - величина, обратная коэффициенту наращения:

Пример. Через 3 года необходимо иметь сумму 16 500 руб. Какую сумму в этом случае необходимо вложить на депозит по сложной ставке 12% годовых.

Сравнивая коэффициенты наращения, при начислении простых и сложных процентов видно, что при п > 1. Чем больше периодов начисления, тем больше различие в величине наращенной суммы при начислении сложных и простых процентов.

Можно определить другие параметры:

п не является целым числом, то коэффициент наращения можно представить в двух видах:

где п - не кратное целому числу периодов начисления сложных процентов;

где п = п ц + d - общее количество периодов (лет) начисления, состоящее из целых и нецелого периодов начисления; п п d - количество дней нецелых (неполного) периода начисления; К = 365 (366) - количество дней в году; i c - относительная величина годовой ставки сложных процентов.

Оба варианта правомочны, но дают разные значения из-за разной точности вычисления.

Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на 3 года 6 месяцев по сложной ставке 12% годовых. Определите наращенную сумму.

• 1) F = 25 000 (1 + 0,12) 3,5 = 25 000 x 1,4868 = 37 170 руб.;
• 2) F = 25 000 (1 + 0,12) 3 (1 + (180: 365) 0,12) = 25 000 x 1,4049 x 1,0592 = 37 201 руб.

Величина годовой ставки сложных процентов i 1 , i 2 ,..., i N может быть разной в течение различных периодов начисления n 1 , n 2 ,..., n N .

Тогда наращенная сумма в конце первого периода (года) начисления:

Во втором периоде (через год):

В n-периоде (за п периодов (лет)):

Тогда коэффициент наращения:

Пример. Кредит в размере 250 000 руб. выдается на 5 лет по сложной ставке процентов. Процентная ставка за первый год i = 18%, а последующий год она уменьшается на 1,5%. Определите коэффициент наращения и наращенную сумму.

По формуле (6.14): k nc = (1 + 0,18)(1 + 0,165)(1 + 0,15)(1 + 0,135)(1 + 0,12) = 2,0096.

По формуле (6.13): F = 250 000 x 1,75 = 502 400 руб.

Обратная задача:

Если начисление сложных процентов производится поинтервально, т.е. несколько раз за период, то формула начисления за интервал

где j = i - номинальная ставка сложных ссудных процентов; т - количество интервалов начисления в периоде (поквартально, ежемесячно и т.д.).

Доход за интервал присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого интервала.

Тогда наращенная сумма при поинтервальном начислении за каждый период через п периодов (лет) составит

Кроме того, можно определить другие параметры:

Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на п = 3 года по сложной ставке 12% годовых, выплата по полугодиям т = 2. Определите наращенную сумму.

По формуле (6/16) .

Если количество периодов начисления сложных процентов п не является целым числом, то коэффициент наращения можно представить в виде

где п п - количество целых (полных) периодов (лет) начисления; р - количество целых (полных) интервалов начисления, но меньше общего количества интервалов в периоде, т.е. р < m;d - количество дней начисления, но меньше количества дней в интервале начисления.

Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на и =3 года 8 месяцев, 12 дней по сложной ставке 12% годовых, выплата по полугодиям т = = 2. Определите наращенную сумму.