Осуществляя дисконтирование спрогнозированного денежного потока, следует учитывать тот факт, что предприятие получает доходы и осуществляет расходы равномерно в течение года, поэтому дисконтирование потоков должно быть произведено для середины периода. Расчет фактора текущей стоимости осуществляется по формуле:

F - фактор текущей стоимости,

R - ставка дисконта,

n - число периодов.

Далее определенный таким образом фактор текущей стоимости умножается на величину денежного потока в прогнозном периоде за соответствующий период. Текущие величины стоимости денежных потоков складываются, в результате чего получается чистая текущая величина денежного потока за весь прогнозный период.

Также необходимо определить величину денежного потока в постпрогнозном периоде. Эта задача решается с применением модели Гордона.

Суть модели Гордона заключается в том, что стоимость денежного потока на начало первого года постпрогнозного периода будет равна величине капитализированной прибыли постпрогнозного периода (то есть сумме всех ежегодных будущих денежных потоков в постпрогнозном периоде).

Модель Гордона выглядит следующим образом:

V - суммарная величина денежного потока в пост прогнозный период,

G - денежный по ток в последний прогнозный год,

R - ставка дисконта;

g - ожидаемые темпы роста денежного потока в постпрогнозном периоде.

Модель Гордона исходит из следующих условий:

Темп прироста денежного потока ОАО « Оптторг» в постпрогнозный период, по мнению специалистов, будет порядка 5% (что коррелирует с темпом прироста выручки компании в 2013 г.).

Дисконтирование стоимости постпрогнозного периода должно производиться по фактору текущей стоимости последнего года отчетного периода (в нашем случае фактор текущей стоимости берется на конец 5-го года).

После чего, полученная величина от дисконтирования стоимости компании в постпрогнозном периоде прибавляется к чистому денежному потоку, определенному за прогнозный период. Результатом является рыночная стоимость 100% собственного капитала оцениваемого предприятия.

Началом прогнозного периода является дата проведения оценки, концом - 31 декабря последнего прогнозного года. Датой проведения оценки является 8 июля 2004 года. Поэтому в расчёт чистой текущей стоимости включён денежный поток не за весь 2009 год, а за период с 8 июля до 31 декабря 2009 года, продолжительностью 176 дней (0,48 года). В результате этого денежный поток 2009 г. корректируется на коэффициент 0,48. Соответственно, дисконтирование проводится на середину данного периода. Тогда продолжительность времени от даты оценки до его середины составит:

Т2004 = 176/365/2 = 0,241 лет

Продолжительности периодов от даты проведения оценки до середины 2010, 2011, 2012, 2013 и начала постпрогнозного периода составят:

Т2005 = 0,241 х 2 + 0,5 = 0,982

Т2006 = 0,982 + 1 = 1,982

Т2007 = 1,982 + 1 = 2,982

Т2008 = 2,982 + 1 = 3,982

Т пост. прогноз = 3,982 + 0,5 = 4,482

Заключительными поправками являются:

1. Поправка на избыток (недостаток) собственного оборотного капитала. Данная поправка необходима для учета фактической величины собственного оборотного капитала, поскольку в модели денежного потока учитывается требуемая величина оборотного капитала, при этом фактическая его величина может не совпадать с требуемой. В результате, избыток собственного оборотного капитала необходимо прибавить, а недостаток - вычесть из величины предварительной стоимости.

Специалисты Оценщика при определении поправки на избыток (недостаток) СОК на дату оценки - 8 июля 2009 г. могли опираться:

• -на фактические данные бухгалтерской отчетности за 1 кв. 2009 г., дата составления которой отстоит от даты оценки на 99 дней;
• -прогнозные значения состояния текущих активов и обязательств предприятия, рассчитанные в целом для 2009 г. (дата прогноза отстоит от даты оценки на 176 дней).

В ходе прогноза изменения собственного оборотного капитала мною были рассчитаны значения текущих активов и обязательств предприятия по итогам 2009 г. (соответственно 18 528 тыс. руб. И 54 978 тыс. руб.) и был определен недостаток СОК, который равен 36 450 тыс. руб.

Период с 01 января 2009 г. до 8 июля 2004 г. = 31 + 29 +31 + 30 +31 +30 +8 = 190 дней;

Количество дней в 2009 г. = 365 дней;

Коэффициент пересчета на дату оценки = 190 / 365 = 0,52;

Недостаток СОК = 36 450 тыс. Руб. * 0,52 = 18 954 тыс. руб.

Данная модель справедлива только в одном случае: темпы изменения остатков средств на счетах учета текущих активов и обязательств одинаковы на протяжении всего года и недостаток СОК растет линейно.

Рассчитаем, исходя из прогнозных данных, значения недостатка СОК по итогам первого квартала 2009 г.:

Количество дней в 2009 г. = 365 дней;

Коэффициент пересчета на дату оценки = 91 / 365 = 0,25;

Недостаток СОК = 36 450 тыс. Руб. * 0,25 = 9 112,5 тыс. руб.

Сопоставление фактического недостатка СОК в 1 кв. 2004 г. - 14 092 тыс. руб. и расчетного, построенного по данным прогноза - 9 112,5 тыс. руб. позволяет сделать вывод о неравномерности изменения текущих активов и обязательств предприятия. Таким образом, надежность полученного результата расчета относительно не высока, полученное значение недостатка СОК может быть завышено, что приведет к занижению стоимости объекта оценки.

Размер недостатка (избытка) СОК, тыс. руб.

Таблица 20

Таким образом, рассчитанный недостаток собственного оборотного капитала на дату оценки необходимо вычесть.

2. Поправка на величину стоимости неоперационных активов. В ходе оценки ОАО «Оптторг» специалисты оценщика не смогли идентифицировать указанные объекты, в связи с чем поправка на величину стоимости неоперационных активов не может быть рассчитана коррекктно.

Расчёт стоимости предприятия по доходному подходу (чистой текущей стоимости), тыс. руб.

Таблица 21

Показатель						Постпрогнозный период
Чистая прибыль отчетного периода
Амортизационные отчисления
Снижение долгосрочной задолженности
Прирост оборотного капитала
Капитальные вложения
Денежный поток
Ставка дисконтирования, %
Темпы роста в постпрогнозном периоде, %
Стоимость в постпрогнозном периоде,
Продолжительность периода дисконт-ия
Фактор тек.стоимости
Чистая тек.стоимость ден. потока
Сумма текущих стоимостей
Избыток соб. оборотных средств
Неоперационные активы
Итого ст-ть соб. капитала

Рыночная стоимость 100% ОАО «Оптторг», рассчитанная методом дисконтированных денежных потоков, составляет (округленно): 84 400 000 (восемьдесят четыре миллиона четыреста тысяч) рублей.

Будущая стоимость денег (future value; FV) — сумма инвестированных в настоящий момент денежных средств, в которую они превратятся через определенный период времени с учетом определенной ставки процента. Определение будущей стоимости денег связано с процессом наращения стоимости, осуществляемом по специальным алгоритмам.

Будущая стоимость денег рассчитывается на базе концепции стоимости денег во времени, основываясь на процентных ставках и настоящей стоимости. Будущая стоимость инвестиций зависит от того, каким методом начисляются проценты: простые проценты, сложные проценты или аннуитет.

Идея, лежащая в основе концепции будущей стоимости денег, состоит в том, что $1000 сегодня стоят больше, чем $1000 через год. Так происходит потому что деньги могут быть помещены на сберегательный счет или размещены в форме других , а, следовательно, принесут доход в течение года. Это называют концепцией стоимости денег во времени, которая применяется во многих инвестиционных схемах.

При начислении простых процентов формула для расчета будущей стоимости (FV) инвестиций имеет следующий вид:

где PV — настоящая стоимость (сумма, которая инвестируется в настоящий момент);
i — процентная ставка за период начисления процентов (например, если проценты начисляются раз в год, то годовая; если проценты начисляются ежемесячно, то за месяц);
t — количество периодов времени, в течение которого начисляются проценты (например, если проценты начисляются ежемесячно, а деньги инвестируются на 1,5 года, то t составит 18, то есть 18 месяцев в течение которых будут начисляться проценты).

По многим видам инвестиций начисляются сложные проценты. В этом случае формула для расчета их будущей стоимости имеет следующий вид:

Например, если первоначальная сумма инвестиций составляет $1000, процентная ставка 8% годовых, начисление процентов осуществляется ежемесячно, а инвестиционный горизонт составляет 2 года, то будущая стоимость составит:

FV = 1000 * (1 + 0,08/12) 24 = $1172,89

Это означает, что $1000 сегодня будет стоить $1172,89 через два года при условии ежемесячного начисления процентов по ставке 8% годовых.

Однако процентные ставки могут колебаться, причем существенно. Например, если они возрастут до 12% годовых, то новый инвестор, который осуществит аналогичную инвестицию, через два года получит сумму равную:

FV = 1000 * (1 + 0,12/12) 24 = $1269,73

При этом инвестиции, осуществленные ранее под 8%, станут менее привлекательными, и их продажа станет возможной только с . Напротив, если процентные ставки упадут ниже 8% годовых, новые инвестиции будут менее привлекательными. Поэтому продажа старых инвестиций будет осуществляться выше номинальной стоимости, то есть с .

Являются финансовыми продуктами, которые обеспечивают регулярные выплаты по фиксированной процентной ставке. Самыми простыми формами аннуитетов являются регулярное внесение средств на сберегательный счет, по которому проценты выплачиваются ежемесячно, или ипотека с ежемесячными платежами, включающими и проценты. Для расчета будущей стоимости аннуитета используется следующая формула:

где A – размер платежа при аннуитете.

Примером аннуитетов может служить пожизненный аннуитет. По сути, он является средствами, которые накапливаются за счет регулярного внесения платежей клиентом в течение определенного периода времени, а затем начинают выплачиваться в виде стабильного потока доходов, обычно после выхода клиента на пенсию. При оценке стоимости пожизненного аннуитета тщательно оценивается его будущая стоимость, а также учитываются такие факторы, как пенсионный возраст и процентные ставки.

Простые и сложные проценты.. 2

Задачи и решения. 7

Частота начисления сложных процентов. 9

Текущая стоимость денег. 10

Аннуитет. 14

Амортизация кредитов. 17

Влияние инфляции. 18

ЦЕННЫЕ БУМАГИ.. 20

Цена облигаций. 21

Доходность облигаций. 30

Доходность облигаций. 30

Цена и доходность депозитных сертификатов и векселей. 38

Цена и доходность акций. 40

Привилегированные акции. 41

Обыкновенные акции. 42

Доходность акции. 49

Анализ рисков. 52

Риск вложений в ценные бумаги. 53

Риск и его виды.. 53

Измерение риска. 54

Доходность и риск портфеля ценных бумаг. 67

Снижение риска посредством диверсификации . 67

Портфельный анализ. 68

Взаимосвязь между ковариацией и стандартным отклонением портфеля. 71

Оптимизация портфеля, состоящего из двух ценных бумаг. 74

Оптимизация портфеля по Марковицу. 77

МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ КАПИТАЛЬНЫХ АКТИВОВ.. 81

Опционы.. 87

Сущность опциона, основные понятия. 87

Цена опциона, модель Блека-Шоулза. 92

Учет временной стоимости денег

Простые и сложные проценты

Принятие решения о вложении капитала определяется в большинстве случаев величиной дохода, который инвестор предполагает получить в будущем, При принятии таких решений весьма важную, если не решающую, роль играет фактор времени. В связи с этим возникает задача учета разнесенных во времени расходов и доходов. Для ее решения необходимо верное понимание стоимости денег во времени (time value of money) и метода дисконтирования денежных потоков (cash flow).

Концепцию стоимости денег во времени можно сформулировать следующим образом: деньги сегодня стоят больше чем такая же сумма, которую мы получим в будущем. Данный факт обусловлен следующими обстоятельствами.

1. Сегодняшние деньги можно инвестировать и получить дополнительные деньги в виде процентов.

2. Покупательная способность денег со временем может упасть из-за инфляции.

3. В получении денег в будущем нельзя быть до конца уверенным.

Таким образом, для принятия финансовых решений эффективных во времени, необходимо использование соответствующих методов, позволяющих учитывать временной аспект стоимости денег.

Преобразования элементов денежного потока осуществляются путем применения операций накопления и дисконтирования. Накопление – процесс определения будущей стоимости денег. Дисконтирование – процесс приведения денег к их текущей стоимости. В первом случае движутся от «настоящего» к будущему, во втором - наоборот, от будущего к настоящему. В обоих случаях с помощью схемы сложных процентов удается получить оценку денежного потока с позиции будущего или «настоящего».

Будущая стоимость денег FV (future value), представляет собой будущую стоимость суммы средств, которой располагает инвестор в настоящий момент, исходя из предполагаемой ставки дохода, срока накопления и периодичности начисления процентов. Оценка будущей стоимости денег связана с процессом накопления, который представляет собой постепенное увеличение первоначальной стоимости путем присоединения к ней дохода, рассчитанного с учетом нормы доходности.

Приведенные формулы входят в число базовых в финансовых вычислениях, поэтому для удобства пользования значения множителей FM 1(i , n )= (1+i)n и FM 2(i , n )=1/ (1+i)n табулированы для различных значений i и п (эту и другие финансовые таблицы, упоминаемые в данном разделе, можно найти в литературе по финансовому менеджменту и анализу).

Множитель РМ1(i ,п) называется мультиплицирующим множителем для единичного платежа, а его экономический смысл состоит в следующем: он показывает, чему будет равна стоимость одной денежной единицы (один рубль, один доллар и т. п.) через п периодов при заданной процентной ставке i. Подчеркнем, что при пользовании финансовыми таблицами необходимо следить за соответствием длины периода и процентной ставки. Так, если базисным периодом начисления процентов является квартал, то в расчетах должна использоваться квартальная ставка.

Множитель РМ2(i ,п) называется дисконтирующим множителем для единичного платежа, а его экономический смысл заключается в следующем: он показывает «сегодняшнюю» цену одной денежной единицы будущего, т. е. чему с позиции текущего момента равна стоимость одной денежной единицы (например, один рубль), которая будет получена или уплачена через п периодов от момента расчета, при заданных процентной ставке (доходности) i . Термин «сегодняшняя стоимость» не следует понимать буквально, поскольку дисконтирование может быть выполнено на любой момент времени, не обязательно совпадающий с текущим моментом.

Важнейшим параметром, определяющим настоящую и будущую стоимость денег, является процентная ставка. Под процентной ставкой понимается отношение величины дохода за фиксированный отрезок времени к сумме долга. Интервал времени, к которому приурочена процентная ставка, называется периодом начисления. Чаще всего на практике используют годовые ставки. Однако в качестве периода начисления может использоваться и полугодие, квартал, месяц и даже день. Проценты могут выплачиваться по мере их начисления или присоединяться к сумме основного долга. В последнем случае говорят о капитализации процентов. Процесс увеличения суммы денег во времени в связи с присоединением процентов называют наращением.

Размер процентной ставки по любому виду кредита или инструмента с фиксированным доходом зависит от целого ряда факторов, наиболее важными из которых являются расчетная денежная единица, срок платежа и риск невыполнения заемщиком условий кредитного соглашения .

Абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг называют процентом (interest). В данном случае процент является абсолютной величиной, выраженной в денежных единицах, а не сотой частью числа.

Если обозначить за I – процент, i - процентную ставку и P – сумму долга, то взаимосвязь между величинами определяется следующим соотношением:

i = I / P.

Простой и сложный процент

Простой процент – это такой процент при котором его величина начисляется на первоначально вложенную сумму средств. При этом сумма процента, начисленного в предыдущие периоды, не принимается в расчет в процессе последующего наращения.

В случае сложного процента процент начисляется на постоянно нарастающую базу с учетом процентов, начисленных в предыдущие периоды. Он применяются в тех случаях, когда процент по кредитам (депозитам) выплачивается не сразу, а присоединяется к сумме основного долга. Такая процедура носит название капитализации.

Величины (1+n*i) и (1+i)n называются коэффициентами (множителями) наращения простых и сложных процентов соответственно.

Пример. Предположим, что вы положили на банковский счет 1000 руб. (PV) Процентная ставка равна 10% годовых. Необходимо рассчитать сумму, которую вы получите через 5 лет при условии, что не будите изымать проценты.

Рассчитаем будущую стоимость поэтапно. В конце первого года у вас на счете будет сумма равная

FV1= 1000* (1+0.1) = 1100 руб.

Полученная сумма складывается из 1000 рублей, с которых начиналась данная финансовая операция, плюс проценты в размере 100 руб. Будущая стоимость 1000 руб. к концу первого года составила 1100 руб.

Если вы оставите 1100 руб. еще на один год, то по окончании второго года вы будите иметь сумму

FV2= 1100* (1+0.1) = 1210 руб.

Данную сумму можно представить в виде трех составляющих. Исходные деньги – 1000 рублей, проценты за первый год 100 руб. и за второй год – 100 руб. Проценты, начисленные на основную сумму вклада, называются простыми процентами. Третья составляющая равна 10 руб. и представляет проценты, полученные во второй год, которые были начислены на 100 рублей, полученные в виде процентов за первый год. Проценты, начисленные на уже начисленные ранее проценты, называются сложными процентами. Общая сумма процентных начислений 210 руб. состоит из простых процентов (200 руб.) и сложных процентов (10 руб.).

Продолжая представленную цепочку вычислений, мы можем рассчитать сумму на счете через 5 лет.

FV5= 1000* (1+0.1)5 = 1610.51 руб.

Таким образом, будущая стоимость 1000 руб. через пять лет при ставке ссудного процента 10% годовых составляет 1610.51 руб. Общая сумма процентных начислений за пять лет составляет 610.51 руб., из которых 500 руб. являются простыми процентами и 110.51 – сложными.

Пример. Вам 20 лет и вы решили положить на счет 1000 руб. сроком на 40 лет при ставке 10% годовых. Сколько денег будет на вашем счете, когда вам будет 60 лет, и вы выйдите на пенсию. Сколько из этой суммы составят простые и сложные проценты.

FV = 1000 * (1+0.1)40 = 45259.26

Полученная сумма складывается из первоначальной суммы равной 1000 руб., простых процентов 1000*0.1*40 = 4000 руб. и сложных процентов, равных 40259.26 руб.

Рассмотрим эффект увеличения процентной ставки до 11%.

FV = 1000 * (1+0.11)40 = 65000.87 руб.

В данном примере кажущееся незначительным увеличение процентной ставки на 1% привело к получению дополнительной суммы равной 24741.61 руб.

Наряду с задачами наращения по сложному проценту в практике финансовых вычислений имеют место задачи, требующие наращения по простым процентам. В этом случае проценты начисляются только на основную сумму вклада. К ним относятся задачи определения цены краткосрочных финансовых инструментов, а также долгосрочных инструментов, если проценты не присоединяются к основному долгу, а выплачиваются. Формула для определения будущей стоимости денег для данного случая будет иметь вид:

FV = PV * (1+n*i).

В этой формуле мы использовали ранее принятые обозначения.

Пример. Возвратимся к рассмотренному выше примеру. Вам 20 лет и вы решили положить на счет 1000 руб. сроком на 40 лет при ставке 10% годовых. Сколько денег будет на вашем счете, когда вам будет 60 лет, и вы выйдите на пенсию.

FV = 1000 * (1+40*0.1) = 1000+4000 = 5000

Полученная сумма складывается из первоначальной суммы равной 1000 руб. и простых процентов 1000*0.1*40 = 4000 руб.

Процент может определяться не только при расчетах от настоящего к будущему, но и от будущего к настоящему. В этом случае процент представляет собой скидку с некоторой конечной суммы. Например, в банковской практике учета векселей стоимость векселя является конечной суммой, с которой производится скидка по определенной ставке, называемой учетной. Разница между стоимостью векселя и суммой, которую банк выдает по этому векселю, называется дисконтом.

Задачи и решения

1. На депозит на срок два года положены 10000 руб. Какую сумму должен получить вкладчик в конце срока при начислении простых (сложных) процентов по ставке 18% годовых?

Для случая простых процентов получаем:

FV = PV *(1+n*i) = 10000*(1+2*0,18) = 13600 руб.

Для случая сложных процентов:

FV = PV *(1+ i)n= 10000*(1+*0,18)2= 13924 руб.

2. Найти период времени в течение которого первоначальная сумма вклада удвоится для случая простой и сложной процентной ставки равной 10%.

Для случая простой ставки

FV = 2*PV = PV *(1+n*i),

n = (2-1)/0,1 =10 лет.

Для случая сложной ставки

FV = 2*PV = PV *(1+i)n

n*Ln(1+0,1) =Ln2,

n= Ln2/ Ln(1+0,1) = 0,69/0,095 = 7,26 года.

3. Найти процентную ставку (простую и сложную) при которой первоначальная сумма вклада удвоится за десять лет.

Для случая простой ставки

FV = PV *(1+n*i),

FV = 2*PV = PV *(1+10*i),

Для случая сложной ставки

FV = 2*PV = PV *(1+i)10

i = 2 1/10 – 1 = 0,072.

4. На вашем банковском вкладе проценты начисляются на основе «плавающей» ставки, которая изменяется каждый год. Три года назад вы положили на счет 10000 руб., когда процентная ставка была 15%. В прошлом году она упала до 12%, а в этом году установлена на уровне 10%. Какая сумма будет у вас на счете к концу текущего года? Расчеты произвести для случая простых и сложных ставок.

Для случая простой ставки

FV = PV *(1+n1*i1 + n2*i2 + n3*i3) = 10000*(1+1*0,15+1*0,12+1*0,1) = 13700 руб.

Для случая сложных ставок

FV = PV *(1+ i1)n1 *(1+ i2)n2 *(1+ i3)n3 = 10000* *(1+ 0,15)1*(1+ 0,12)1*(1+ 0,1)1 = 10000* 1,15*1,12*1,1 = 14168 руб.

5. В банк на срочный сберегательный счет положено 1000 руб. на два года по ставке 9% годовых, с дальнейшей пролонгацией на следующие три года по ставке 6%. Найти наращенную сумму через пять лет при простых и сложных ставках.

Для случая простой ставки

FV = PV *(1+n1*i1 + n2*i2) = 1000*(1+2*0,09+3*0,06) = 1360 руб.

Для случая сложных ставок

FV = PV *(1+ i1)n1 *(1+ i2)n2 = 1000* *(1+ 0,09)2*(1+ 0,06)3 = 1417 руб.

1. Вексель стоимостью 100 млн. руб. учтен банком за 2 года до погашения по сложной ставке 20 % годовых. Какую сумму получит векселедержатель по истечении срока договора.

Частота начисления сложных процентов

Процентная ставка задается, как правило, как номинальная годовая процентная ставка – это исходная ставка, которую назначает банк для начисления процентов. Эта ставка может быть также использована для начисления процентов один раз в году. В этом случае, если начисление процента осуществляется чаще, чем 1 раз в год, например, ежеквартально, или ежемесячно, рассчитывается эффективная годовая ставка, которая эквивалентна процентной ставки при условии начисления процентов один раз в год.

Предположим, что годовая процентная ставка составляет, например 6% в год, при этом проценты начисляются ежемесячно. Это означает, что проценты начисляются на ваш счет каждый месяц в сумме 1/12 от 6%, или 0.5%. Эффективная процентная ставка может быть найдена из выражений

FV = (1.005)12 = 1.061678

Iэ = 1.06168-1 = 0.061678 = 6.1678% в год.

Общая формула для вычисления действующей годовой процентной ставки выглядит следующим образом:

Iэ = (1+i/m)m – 1,

I – номинальная годовая ставка, m – число начислений процента в году.

При увеличении частоты начисления процентов эффективная процентная ставка увеличивается. Если проценты начисляются непрерывно, то эффективная процентная ставка определяется из соотношения

Iэ = Lim (1+i/m)m – 1 = ei - 1= 2.71828i -1

m à бесконечности.

В нашем примере e 0= 6.1836 в год.

Пример. Номинальная годовая ставка составляет 12% в год. Начисление процентов производится ежеквартально. Найти годовую эффективную ставку

Iэ = (1+0,12/4)4 – 1 = 12,55%.

Текущая стоимость денег

Процедура расчета текущей (приведенной) стоимости денег противоположна вычислению будущей стоимости. С ее помощью мы можем определить, какую сумму необходимо вложить сегодня для того, чтобы получить определенную сумму в будущем.

Общая формула для вычисления приведенной стоимости 1 руб. через n периодов имеет вид:

где PV – текущая стоимость денег,

FV – будущая стоимость денег,

n – количество временных интервалов,

i – ставка дисконтирования.

Пример. Какую сумму необходимо положить на счет, чтобы через пять лет получить 1000 руб. (i=10%)

PV = 1000 / (1+0.1)^5 = 620.92 руб.

Таким образом, для расчета текущей стоимости денег мы должны известную их будущую стоимость поделить на величину (1+i)n. Текущая стоимость находится в обратной зависимости от величины ставки дисконтирования. Например, текущая стоимость денежной единицы, получаемой через 1 год при ставке 8% составляет

PV = 1/(1+0,08)1 = 0,93,

А при ставке 10%

PV = 1/(1+0,1)1 = 0,91.

Текущая стоимость денег находится также в обратной зависимости от числа временных периодов до их получения.

Рассмотренная процедура дисконтирования денежных потоков может быть использована при принятии решений об инвестировании. Наиболее общее правило принятия решений – правило определения чистой приведенной стоимости (NPV). Суть его состоит в том, что участие в инвестиционном проекте целесообразно в том случае, если приведенная стоимость будущих денежных поступлений от его реализации превышает первоначальные инвестиции.

Пример. Имеется возможность купить сберегательную облигацию номиналом 1000 руб. и сроком погашения 5 лет за 750 руб. Другим альтернативным вариантом инвестирования является размещение денег на банковском счету с процентной ставкой 8% годовых. Необходимо оценить целесообразность инвестирования средств в приобретение облигации.

Для расчета NPV в качестве процентной ставки или в более широком смысле ставки доходности, необходимо использовать альтернативную стоимость капитала. Альтернативная стоимость капитала – это та ставка доходности, которую можно получить от других направлений инвестирования. В нашем примере альтернативным видом инвестирования является помещение денег на депозит с доходностью 8%.

Сберегательная облигация обеспечивает денежные поступления в размере 1000 руб. через 5 лет. Текущая стоимость этих денег равна

PV = 1000/1.08^5 = 680.58 руб.

Таким образом, текущая стоимость облигации составляет 680.58 руб., в то время как купить ее предлагают за 750 руб. Чистая текущая стоимость инвестиций составит 680.58-750=-69.42, и инвестировать средства в приобретение облигации нецелесообразна.

Экономический смысл показателя NPV состоит в том, что он определяет изменение финансового состояния инвестора в результате реализации проекта. В данном примере в случае приобретения облигации богатство инвестора уменьшится на 69.42 руб.

Показатель NPV может быть также использован для оценки различных вариантов заимствования денежных средств. Например, вам нужно взять в долг 5000 дол. для приобретения автомобиля. В банке вам предлагают заем под 12 % годовых. Ваш друг может одолжить 5000 дол., если вы отдадите ему 9000 дол. через 4 года. Необходимо определить оптимальный вариант заимствования. Рассчитаем текущую стоимость 9000 дол.

PV = 9000/(1+0.12)^4 = 5719.66 дол.

Таким образом, NPV данного проекта составляет.66= -719.66 дол. В данном случае лучшим вариантом заимствования является банковский кредит .

Для расчета эффективности инвестиционных проектов можно использовать также показатель внутренней нормы доходности (internal rate of return) IRR. Внутренняя ставка доходности – это такое значение дисконтной ставки , которое уравнивает приведенную стоимость будущих поступлений и приведенную стоимость затрат. Другими словами, IRR равна процентной ставки, при которой NPV = 0.

В рассмотренном примере приобретения облигации IRR вычисляется из следующего уравнения

750 = 1000/(1+IRR)^5

Оценка денежных потоков

При принятии большинства финансовых решений приходится иметь дело с множественными денежными потоками, т. е. с денежными выплатами или поступлениями, имеющими место в течение ряда временных интервалов. В качестве примера можно рассмотреть приобретение облигации по которой ожидаются периодические процентные платежи, формирование накопительной части пенсии путем периодических отчислений работодателя и работника.

Элементы потока С могут быть либо независимыми, либо связанными между собой определенным алгоритмом. Временные периоды чаще всего предполагаются равными. Также считается, что генерируемые в рамках одного временного периода поступления имеют место либо в его начале, либо в его конце, т. е. они не распределены внутри периода, а сконцентрированы на одной из его границ. В большинстве случаев денежные поступления считаются привязанными к концу временного интервала.

Оценка денежного потока может выполняться в рамках решения двух задач: (а) прямой, т. е. проводится оценка с позиции будущего (реализуется схема накопления); (б) обратной, т. е. проводится оценка с позиции настоящего (реализуется схема дисконтирования).

Прямая задача предполагает суммарную оценку наращенного денежного потока, т. е. в ее основе лежит будущая стоимость. В частности, если денежный поток представляет собой регулярные начисления процентов на вложенный капитал (Р) по схеме сложных процентов, то в основе суммарной оценки накопленного денежного потока лежит следующая формула.

FV = Ck * (1+i)k

Пример. Вы каждый год кладете 1000 руб. на счет, по которому выплачивается 10% годовых, начиная с момента вклада. Сколько денег будет у вас на счете через два года, если вы не будете изымать проценты. К концу первого года исходная сумма 1000 руб. возрастет до величины

FV1 = 1000* (1+0,1)1 = 1100 руб.

В начале второго года к этой сумме будет добавлена еще 1000 руб. и на счете будет 2100 руб. К концу второго года эта сумма возрастет до величины

FV2 = 2100* (1+0,1)1 = 2310 руб.

Обратная задача предполагает суммарную оценку дисконтированного (приведенного) денежного потока. Поскольку отдельные элементы денежного потока генерируются в различные временные интервалы, а деньги имеют временную ценность , непосредственное их суммирование невозможно. Приведение элементов денежного потока к одному моменту времени осуществляется с помощью следующей формулы

PV = Ck / (1+i)k

В качестве примера задачи данного вида можно рассмотреть определение текущей стоимости облигации, которая будет погашена через два года с номинальной стоимостью 1000 руб. и купонной ставкой 10%. По данной облигации предполагаются купонные выплаты в размере 100 руб. в конце первого и второго года. Кроме этого в конце второго года выплачивается номинальная стоимость облигации. С учетом этого текущая стоимость денежного потока будет равна

PV = 100 / (1+0,1)1 + 100 / (1+0,1)2. + 1000 / (1+0,1)2 = 8438,01 руб.

Аннуитет

Одним из ключевых понятий в финансовых расчетах является понятие аннуитета . Логика, заложенная в схему аннуитетных платежей, широко используется при оценке долговых и долевых ценных бумаг, в анализе инвестиционных проектов , а также в анализе аренды.

Аннуитет представляет собой частный случай денежного потока. Известны два подхода к его определению. Согласно первому подходу аннуитет представляет собой однонаправленный денежный поток, элементы которого имеют место через равные временные интервалы. Второй подход накладывает дополнительное ограничение, а именно: элементы денежного потока одинаковы по величине. В дальнейшем изложении материала мы будем придерживаться именно второго подхода. Если число равных временных интервалов ограничено, аннуитет называется срочным. В этом случае:

С1 = Сз = ... = Сп = А.

Для оценки будущей и приведенной стоимости аннуитета можно пользоваться вышеприведенными формулами, вместе с тем благодаря специфике аннуитетов в отношении равенства денежных поступлений они могут быть существенно упрощены.

Формула для расчета текущей стоимости аннуитета имеет вид

PVA = A/(1+i)+A/(1+i)2 A/(1+i)3+…+A/(1+i)n.

Введем следующие обозначения

В результате получим

PVA=B*(1+C+C2+C3+… +Cn-1) *

Умножая левую и правую части уравнения на величину C

PVA*С = B*(C+C2+C3+… +Cn) **

Вычитая уравнение ** из * получим

PVA*(1-С) = B*(1-Cn).

PVA* = A/(1+i)*.

Умножение обеих частей уравнения на величину (1+i) дает

PVA*i = A*

PVA = A*.

Аналогичным образом может быть получено выражение для расчета будущей стоимости аннуитета.

FVA = A+A*(1+i)2 A*(1+i)3+…+A*(1+i)n-1.

Введем обозначения B=A*(1+i)/ и получим

FVA = A*(1+B +B2 B3+…+Bn-1).

Умножим обе части уравнения на величину B.

FVA*B = A*(B +B2 B3+…+Bn).

Вычитая данное уравнение из предыдущего получим,

FVA*(1-B) = A*(1-Bn).

FVA = A/i*[(1+i)n-1].

По аналогии с функциями FM 1(i , n )= (1+i)n и FM 2(i , n )=1/ (1+i)n функции FM 3(i , n )= 1/i*[(1+i)n-1] FM 4(i , n )= и табулированы для различных значений i и п. Экономический смысл F МЗ(i ,п), называемого мультиплицирующим множителем для аннуитета, заключается в следующем: он показывает, чему будет равна суммарная величина срочного аннуитета в одну денежную единицу (например, один рубль) к концу срока его действия. Предполагается, что производится лишь начисление денежных сумм, а их изъятие может быть сделано по окончании срока действия аннуитета. Множитель F М4(i ,п) показывает текущую стоимость аннуитета в одну денежную единицу при заданных значениях i и n.

При выполнении некоторых инвестиционных расчетов используется техника оценки бессрочного аннуитета. Аннуитет называется бессрочным, если денежные поступления продолжаются достаточно длительное время (в западной практике к бессрочным относятся аннуитеты, рассчитанные на 50 и более лет).

В этом случае прямая задача смысла не имеет. Что касается обратной задачи, то ее решение может быть получено на основе формулы

PVA = A*

при n стремящейся к бесконечности.

Приведенная формула используется для оценки целесообразности приобретения бессрочного аннуитета. В этом случае известен размер годовых поступлений; в качестве коэффициента дисконтирования i обычно принимается гарантированная процентная ставка (например процент, предлагаемый государственным банком).

Амортизация кредитов

Многие займы, такие как кредиты на покупку дома и покупку машины, выплачиваются равномерными периодическими платежами. Каждый из них состоит из двух частей: процентов на остаток долга и части его основной суммы. После каждой выплаты оставшаяся сумма долга уменьшается на уже выплаченную величину. Следовательно, в следующих платежах та часть, которая содержит в себе начисленные проценты , меньше, чем проценты за предыдущий период, а часть, приходящаяся на выплату основной суммы займа, больше, чем в предыдущем периоде.

Допустим, вы берете кредит в 100000 долл. на покупку дома под 9% годовых на условиях выплаты всей суммы с процентами тремя ежегодными платежами. Сначала мы рассчитываем годовой платеж, для чего находим A , PVA которого составляет 100000 долл. при условии уплаты 9% годовых на протяжении трех лет:

PVA = A*.

A = PVA/.

A = 100000/.

Таким образом, годовой платеж составляет 39505,48 долл. Далее необходимо определить, какую часть от 39505,48 долл. в первый год составят проценты и сколько придется на долю основного платежа? Поскольку процентная ставка равна 9% годовых, часть, приходящаяся на проценты в первый год, должна быть 0,09 х или 9000 долл. Остаток от 39504,48 долл., или 30505,48 долл. - сумма платежа от основной суммы в 100000 долл. Таким образом, после первого платежа остаток долга по займу составляет 100000 долл,48 долл., или,52 долл. Процесс постепенной регулярной выплаты займа на протяжении всего его периода называется амортизацией займа.

Далее рассчитаем платежи во второй год. Процентные платежи во второй год составят 0.09 х,52 долл., или 6254,51 долл. Остаток от 39504,48 долл. после расчета процентов составит 33250,97 долл. - это выплата основной суммы. Остаток после второй выплаты, следовательно, равен 69494,52 долл,97 долл., или 36243,54 долл.

Третий и последний платеж покрывает как проценты, так и основную сумму 36243,54 долл. (т. е. 1,09 х 36243,55 долл. = 39504,47 долл.). Рассмотренный график погашения трехгодичного займа представлен в таблице.

	Начальный долг	Общий платеж	Выплаченные проценты	Выплаченная основная сумма	Остаток долга
Итого

Анализ представленных данных показывает, что с каждой последующей выплатой 39504,48 долл. часть, приходящаяся на проценты, уменьшается, а часть основной суммы, предназначенной для выплаты основной суммы займа, увеличивается.

Влияние инфляции

Инфляция оказывает существенной влияние на принятие финансовых решений. Рассмотрим в качестве примера сбережения на старость. В возрасте 20 лет вы отложили 100 долл. и инвестировали их из расчета 8% годовых. Расчеты показывают, что ваши вложенные 100 долл. к тому времени, когда вам исполнится 65 лет, вырастут до 3192 долл. При этом необходимо учитывать, что реальная покупательская способность денег за 45 лет существенно снизится. Вещи, которые вы покупаете сегодня, к тому времени будут стоить гораздо больше. Например, если цены на все товары и услуги, которые вы хотите купить, будут подниматься на 8% в год на протяжении последующих 45 лет, на ваши 3192 долл. вы сможете купить не больше, чем на 100 долл. сегодня.

Приведение будущей стоимости денег к текущему моменту времени, т.е. определение их текущей стоимости, называется ДИСКОНТИРОВАНИЕМ .

Соотношение текущей и будущей стоимости легко увидеть на схеме (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Соотношение текущей и будущей стоимости денег

Оставим пока в стороне влияние инфляции на эффективность инвестиций. К этому мы вернемся чуть позже. Рассмотрим изменение временной стоимости денег лишь вследствие их собственного свойства: способности оборачиваться и приносить доход.

Решим для иллюстрации изменения временнóй стоимости денег простую задачу компаундинга:

Инвестор вложил капитал в сумме 20 тыс. руб. в банковский депозит под 10 % годового дохода. Какой капитал будет иметь инвестор на депозитном счете через три года при условии рефинансирования процентов (т.е. проценты, начисленные по вкладу, не будут сниматься с депозитного счета)?

Посмотрим, как будет изменяться (прирастать) капитал инвестора по годам.

Через год на депозитном счете инвестора будет капитал равный

тыс. руб.

или это можно записать иначе:

Тыс. руб.

Через два года:

Тыс. руб.

Через три года

Тыс. руб.

Итак, мы не только определили, каким капиталом будет владеть инвестор через три года, но и вывели формулу сложных процентов , по которой выполняются расчеты в том случае, если проценты, получаемые на вложенный капитал, реинвестируются, т.е. присоединяются к основному капиталу (теперь нам понятен смысл слова компаунд – составной, сложный). Формула сложных процентов является очень важным инструментом финансово-экономического и инвестиционного анализа. В частности, с её помощью мы установим соотношение между текущей стоимостью и будущей стоимостью денежных потоков:

или , (5.10)

где – норма доходности (норма дисконта), десятичное выражение.

– количество периодов времени, в течение которого происходит накопление дохода, год (квартал, месяц).

Экономический смысл этой формулы легко просматривается: если сегодня мы инвестируем некоторый капитал, имеющий текущую стоимость ТС , то при годовой доходности инвестиций равной Е, мы будем иметь через t лет капитал, стоимость которого будет равна БС. Как в нашем примере, инвестировав под 10 % годовых 20 тыс. руб., мы через три года будем иметь капитал 26,62 тыс. руб.:

Из формулы (5.9) видно, что

Или . (5.11)

Это означает, что если в будущем в некотором году t мы предполагаем иметь определенный капитал, то его будущая стоимость БС могла бы быть получена путем инвестирования сегодня капитала стоимостью ТС на период времени t при годовой доходности, равной Е.

Здесь – коэффициент дисконтирования, а – коэффициент компаундинга (коэффициент наращения) .

Соответственно, формула (5.9) является основой задач компаундинга, а формула (5.10) является основой задач дисконтирования. В инвестиционном анализе большее применение имеет задача дисконтирования, в которой инвестор, зная сумму инвестируемого сегодня капитала (текущую стоимость денег), может оценить стоимость предполагаемых завтра доходов (будущую стоимость денег), сопоставив их в одной временнóй размерности – в текущем времени.

Значение коэффициента дисконтирования всегда меньше единицы, и чем дальше год t от начального момента времени, тем его значение меньше, а значит, тем меньше текущая стоимость будущих доходов. На простом примере это можно интерпретировать так: миллион рублей, который мы будем иметь через год, будет стоить значительно меньше, чем миллион рублей, который мы имеем сегодня: ведь для того, чтобы получить миллион рублей через год, нам достаточно инвестировать сегодня 909091 руб. при доходности 10 %:

руб.

Норма доходности (норма дисконта) Е показывает скорость изменения стоимости денежных потоков. В задачах компаундинга Е показывает скорость возрастания стоимости (норма доходности), а в задачах дисконтирования Е показывает скорость уменьшения стоимости (норма дисконта) .

Напомним, что мы пока не учитываем влияние инфляции на стоимость денег. Изменение их временнóй стоимости обусловлено лишь способностью денег оборачиваться и приносить доход.

Рассмотрим для начала простой пример (рис. 5.4) :

Инвестиционным проектом предусматривается осуществление строительства крупного объекта стоимостью 100 млн. руб. в течение трех лет. Рассматривается два варианта выполнения работ, предусматривающих разную схему финансирования проекта по годам:

1 вариант: 1 год –15 млн. руб.;

2 год –25 млн. руб.; 3 год – 60 млн. руб.

2 вариант: 1 год – 20 млн. руб.;

2 год – 40 млн. руб.; 3 год – 40 млн. руб.

Какой вариант финансирования проекта предпочтительнее для инвестора при прочих равных условиях?

Очевидно, что смысл нашей задачи заключается в том, что при одинаковой стоимости строительства объекта реальная сумма инвестиций с учетом временнóй стоимости денег будет разная. Давайте в этом убедимся, приведя все инвестиции к одной временнóй размерности, т.е. к одному моменту времени – начальному, то есть началу первого года. Для этого примем норму дисконта Е =0,1 и определим суммарную приведенную (дисконтированную) стоимость инвестиций по каждому варианту.

Рис. 5.4. Распределение инвестиций по вариантам строительства объекта (иллюстрация к рассматриваемому примеру)

Мы видим, что дисконтированная стоимость инвестиций по первому варианту меньше на 2,667 млн. руб., чем дисконтированная стоимость инвестиций по второму варианту. То есть, при одинаковых по обоим вариантам номинальных затратах инвестора – 100 млн. руб. – с учетом временной стоимости денег реальные затраты в первом случае будут меньше. Попробуем объяснить это. Мы знаем, что, инвестируя капитал, инвестор изымает его из текущего оборота, где этот капитал может приносить доход. А капитал, вложенный в строительство, как бы «замораживается» – отдача от него начнет поступать только после окончания строительства и ввода объекта в эксплуатацию. В нашем примере на первом году строительства объекта в первом варианте было «заморожено» меньше средств, чем во втором варианте, на 5 млн. руб., следовательно, они продолжали «работать» и приносить инвестору доход (например, 10 % в год). Аналогично на втором году строительства – по первому варианту было отвлечено из текущего оборота меньше, чем по второму варианту на 25 млн. руб. и т.д.

В общем случае при одинаковой сумме инвестиций (в нашем примере 100 млн. руб.) первый вариант финансирования проекта будет предпочтительнее второго варианта финансирования проекта (рис. 5.5).

Таким образом, учет временнóй стоимости денег позволяет сопоставлять разновременные затраты, выбирать варианты инвестирования с наиболее эффективной схемой финансирования и меньшими приведенными инвестициями.

Рис. 5.5. Сравнение вариантов финансирования проекта

Вам еще не раз придется встретиться с этими коэффициентами, поскольку они имеют широкое применение не только в инвестиционном анализе, но и в банковских расчетах, финансовом анализе, в оценке недвижимости и т.д. В разных литературных источниках норма доходности (дисконта) обозначается разными символами – R, r (rate -ставка), I , i (interest – интерес, процент). Здесь и далее мы будем использовать обозначения, принятые в «Методических рекомендациях по оценке эффективности инвестиционных проектов».

Не случайно в англоязычной литературе норма дисконта (доходности) обозначается словом rate, которое в переводе на русский язык имеет два значения: 1) норма, ставка; 2) темп, скорость – см. Мюллер В.К. Англо-русский словарь: 53 000 слов. – 18-е изд., стереотип. – М.: Рус. язык., 1981. – 888 с.

Предыдущая

При размещении капитала в инвестиционные проекты, ценные бумаги, недвижимость, коммерческие банки и т.п. важно правильно запланировать своевременное возвращение вложенной суммы и получения ожидаемого экономического эффекта. Здесь имеет место теория переоценки денег или концепция изменения стоимости денег во времени, которая основывается на том, что под действием различных факторов стоимость денег с течением времени изменяется с учетом нормы прибыли на денежном рынке, в роли которой выступает норма ссудного процента. В данном случае ссудный процент - это сумма доходов от использования денег на денежном рынке. Учитывая, что процесс инвестирования длительный во времени, в инвестиционной практике часто необходимо сравнивать стоимость денег в начале их инвестирования со стоимостью денег при их возврате в виде будущей прибыли, амортизационных отчислений и т.п.. Принцип стоимости денег во времени базируется на том, что сегодня денежная единица стоит больше, чем в будущем. Ключевую роль при трансформации стоимости средств во времени, то есть сравнивая стоимость денежных средств при их инвестировании и возвращении, играют два основных понятия: будущая стоимость денег и их действительная (настоящая, текущая) стоимость.

Будущая стоимость денег - это сумма, в которую превращаются через определенный период времени с учетом определенной ставки процента инвестированы сегодня (в настоящее время) средства..

Определение будущей стоимости денег связано с процессом наращивания этой стоимости. Наращивание - метод возведения реальной стоимости средств в их стоимости в будущем периоде, используемый для оценки будущей стоимости инвестиций; это поэтапное увеличение суммы вклада путем присоединения к первоначальному его размера суммы процента (процентных платежей). Эта сумма рассчитывается по так называемой процентной ставкой. В инвестиционных расчетах процентная ставка применяется не только как инструмент наращивания стоимости денежных средств, но и в широком смысле - как измеритель степени доходности инвестиционных операций.

С наращиванием, как методом увеличения суммы средств, связан и метод дисконтирования - это способ приведения будущей стоимости средств в их стоимости в текущем периоде (до реальной стоимости денег).

Будущие денежные потоки могут быть следующих видов:

- Единичный денежный поток - сумма, выплачиваемая единовременно;

- Аннуитет - равномерные денежные потоки, регулярно поступают (платежи по закладным, премиальные взносы по страхованию, купонные или процентные выплаты по облигациям, арендные платежи и т.д.).

Различают:

- Обычный аннуитет - равномерные денежные потоки, проводимых в конце периода уплаты;

- Серия равномерных платежей (аннуитетное обязательства) - платежи, вносимые через равные промежутки времени в начале определенного периода.

Нынешняя (текущая, современная) стоимость денег - это сумма будущих денежных поступлений, возведенных с учетом определенной процентной ставки (так называемой "учетной ставки, коэффициента дисконта»), до настоящего (текущего) периода.

Определение настоящей стоимости денег связано с процессом дисконтирования этой стоимости, является операцией, обратной к наращиванию при оговоренном конечном размере денежных средств. В этом случае сумма процента отсчитывается от конечной суммы (будущей стоимости) денежных средств. Такая ситуация возникает в тех случаях, когда необходимо определить, сколько средств нужно инвестировать сегодня для того, чтобы через определенный промежуток времени получить заранее оговоренную их сумму.

Определение стоимости денег во времени необходимо, чтобы суммировать денежные потоки, которые поступают в различные периоды времени. Например, если определили текущую стоимость единичного поступления и текущую стоимость аннуитета, то можно суммировать эти денежные потоки для определения общей суммы поступлений, имеет большое значение для определения потока доходов от активов.

При проведении финансово-экономических расчетов, связанных с инвестированием средств, процессы наращивания и дисконтирования стоимости могут осуществляться как за простыми, так и по сложным процентам. Техника простых процентов используется, когда необходимо определить стоимость денежных потоков по краткосрочным финансовым инструментам, то есть, когда срок погашения ссуды меньше года, а по сложным процентам - когда срок погашения больше года.

Количество денег, одолженных (заем) или вложенных (инвестированных) называется капиталом (начальной стоимости). Через оговоренный период времени лицо, пользующееся деньгами (заемщик) должна вернуть капитал и прибыль с капитала. Прибыль с капитала подсчитывается в виде процентов от основной суммы. Эта величина называется ставкой процента, а метод подсчета прибыли - методом простых процентов (процентов).

Простые проценты - это метод начисления с нынешней стоимости вклада в конце одного периода платежа, обусловленного условиями инвестирования (месяц, квартал и т.д.); это метод расчета дохода кредитора, он получает от заемщика за предоставленные взаймы деньги. Они начисляются на ту же сумму заемного капитала в течение всего срока погашения займа.

Основными понятиями финансово-экономических расчетов являются:

а) процент - это доход от предоставления капитала в долг в различных формах (ссуды, кредиты и т.д.) или от инвестиций производственного или финансового характера;

б) процентная ставка - величина, характеризующая интенсивность начисления процентов;

в) наращенная первичная (инвестирована) сумма - это увеличение данной суммы за счет начисленных процентов; отношение наращенной суммы в первичной называют множителем (коэффициентом) наращивание; множитель наращения показывает, во сколько раз вырос первичный капитал;

г) период начисления - это интервал времени, за который начисляются проценты.

Простые проценты определяются по формуле:

При использовании простых процентов, когда срок соглашения не соответствует целому числу лет, период начисления процентов выражается дробным числом, то есть как отношение числа месяцев (дней) функционирование соглашения в число месяцев (дней) в году:

Для определения стоимости денежных потоков, которые генерируют долгосрочные финансовые инструменты, применяют технику сложных процентов.

Сложный процент - это сумма прибыли, которая образуется в результате инвестирования при условии, что сумма начисленного процента (простого) не выплачивается после каждого периода, а добавляется к сумме основного вклада и в следующем периоде платежа сама приносит доход.

Такой метод подсчета прибыли в будущем периоде называется компаундингом, или расчетом будущей стоимости. Каждый шаг этого процесса называется компаундом (начислением), а результат начисления - сложными процентами.

Существуют два метода начисления сложных процентов: где-курсивом и антисипативного.

Декурсивний (следующий) способ предусматривает начисление процентов в конце каждого временного интервала начисления. Размер процентов определяется исходя из величины капитала, используемого.

Антисипативного (предварительный) способ предусматривает начисление процентов в начале каждого временного интервала. В мировой практике широкое распространение получил декурсивний способ начисления процентов. Антисипативного метод начисления процентов применяется не так часто, только в периоды высокой инфляции. По декурсивним методом начисления процентов наращенная сумма долга (взноса) определяется по формуле.